Question

如圖，已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為，線段的長(zhǎng)為.

（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn)，且點(diǎn)在線段的上方，
線段的垂直平分線為.
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）參考解析；（2）①；②參考解析

試題分析：（1）由于c的大小沒確定，所以點(diǎn)A的軌跡，根據(jù)c的大小有三種情況.
（2）①由可得點(diǎn)A的軌跡方程為橢圓，求的面積的最大值即求出點(diǎn)A到直線距離的最大值.即點(diǎn)A在橢圓的上頂點(diǎn)上即可.本小題通過建立三角函數(shù)同樣可以求得三角形面積最大時(shí)的情況.
②當(dāng)時(shí)，顯然存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)直線AC不垂直于時(shí)，不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.通過假設(shè)存在，利用點(diǎn)差法即可得到，.由于H,M分別是兩條弦的中點(diǎn)，并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824043953206534.png" style="vertical-align:middle;" />，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，3分
（2）以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
可得軌跡的方程為7分
①解法1：設(shè)表示點(diǎn)到線段的距離
，8分
要使的面積有最大值，只要有最大值
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，
的最大值為10分
解法2：在橢圓中，設(shè)，記
點(diǎn)在橢圓上，由橢圓的定義得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
從而

得8分
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，當(dāng)最大時(shí)，最大
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，
最大值為10分
②結(jié)論：當(dāng)時(shí)，顯然存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱11分
下證當(dāng)與不垂直時(shí)，不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱12分
證法1：假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)

設(shè)線段的中點(diǎn)為直線
由于在上，故①
又在橢圓上，所以有
兩式相減，得
將該式寫為，
并將直線的斜率和線段的中點(diǎn)，表示代入該表達(dá)式中，
得②14分
①、②得，由（1）代入
得

即的中點(diǎn)為點(diǎn)，而這是不可能的.
此時(shí)不存在滿足題設(shè)條件的點(diǎn)和.16分
證法2：假設(shè)存在這樣的兩個(gè)不同的點(diǎn)
，14分
則，故直線經(jīng)過原點(diǎn).15分
直線的斜率為，則假設(shè)不成立，
故此時(shí)橢圓上不存在兩點(diǎn)（除了點(diǎn)、點(diǎn)外）關(guān)于直線對(duì)稱16分