Question

如圖，圓與直線相切于點，與正半軸交于點，與直線在第一象限的交點為.點為圓上任一點，且滿足，動點的軌跡記為曲線．

（1）求圓的方程及曲線的方程；
（2）若兩條直線和分別交曲線于點、和、，求四邊形面積的最大值，并求此時的的值．
（3）證明：曲線為橢圓，并求橢圓的焦點坐標．

Answer 1

（1）圓的方程為，曲線的方程為（）；（2）當時，四邊形的面積最大值為；（3）證明見解析，其焦點坐標為，.

試題分析：（1）圓的半徑等于圓心到切線的距離，曲線的方程可通過已知變形得到，條件是，，把已知式平方可得出的方程；（2）從方程可看出，即，因此，我們把方程與曲線方程聯立方程組可解得兩點坐標，從而得到，把中的，用代可得出，從而求出，變形為，易知，故當即時，取得最大值，為了求最大值，也可作變形，應用基本不等式基本不等式知識得出結論；（3）要證曲線為橢圓，首先找它的對稱軸，從方程中可看出直線是其對稱軸，接著求出曲線與對稱軸的交點即橢圓的頂點，這樣可求得長軸長和短軸長，根據公式，求出半焦距，這樣可求出焦點，下面我們只要按照橢圓的定義證明曲線的點到兩定點的距離之和為定值，也可求出到兩定點的距離之和為定值的點的軌跡方程是曲線的方程，這樣就完成了證明. 
試題解析：（1）由題意圓的半徑，
故圓的方程為.                             2分
由得，，
即，得
（）為曲線的方程.（未寫范圍不扣分） 4分
（2）由得，，
所以，同理.        6分
由題意知 ，所以四邊形的面積.
，
∵ ，∴ .           8分
當且僅當時等號成立，此時.
∴ 當時，四邊形的面積最大值為.                        10分
（3）曲線的方程為（），它關于直線、和原點對稱，下面證明：
設曲線上任一點的坐標為，則，點關于直線的對稱點為，顯然，所以點在曲線上，故曲線關于直線對稱，
同理曲線關于直線和原點對稱.
可以求得和直線的交點坐標為
和直線的交點坐標為，
，，，.
在上取點
下面證明曲線為橢圓：
ⅰ）設為曲線上任一點，則





（因為）
.
即曲線上任一點到兩定點的距離之和為定值.
ⅱ）若點到兩定點的距離之和為定值，可以求得點的軌跡方程為（過程略）.            
故曲線是橢圓，其焦點坐標為.              18分
第（3）問說明：
1. ⅰ）、ⅱ）兩種情形只需證明一種即可，得5分，
2. 直接寫出焦點的坐標給3分，未寫出理由不扣分.