Question

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以原點為圓心,橢圓的短半軸為半徑的圓與直線x-y+=0相切,過點P(4,0)且不垂直于x軸直線l與橢圓C相交于A、B兩點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)求·的取值范圍;
(3)若B點關于x軸的對稱點是E,證明:直線AE與x軸相交于定點.

Answer 1

(1) +=1    (2)    (3)見解析

(1)解:由題意知e==,
∴e²===,
即a²=b².
又b==,
∴b²=3,a²=4,
故橢圓的方程為+=1.
(2)解:由題意知直線l的斜率存在,
設直線l的方程為y=k(x-4).
由
得(4k²+3)x²-32k²x+64k²-12=0.
由Δ=(-32k²)²-4(4k²+3)(64k²-12)>0,
得k²<.
設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
則    (*)
∴y₁y₂=k²(x₁-4)(x₂-4)=k²x₁x₂-4k²(x₁+x₂)+16k²,
∴·=x₁x₂+y₁y₂
=(1+k²)·-4k²·+16k²
=25-
∵0≤k²<,
∴-≤-<-,
∴·∈.
∴·的取值范圍是.
(3)證明:∵B、E兩點關于x軸對稱,
∴E(x₂,-y₂).
直線AE的方程為y-y₁=(x-x₁),
令y=0得x=x₁-,
又y₁=k(x₁-4),y₂=k(x₂-4),
∴x=.
將(*)式代入得,x=1,
∴直線AE與x軸交于定點(1,0).