Question

已知橢圓的右焦點為,離心率,是橢圓上的動點．
（1）求橢圓標準方程；
（2）若直線與的斜率乘積,動點滿足,（其中實數為常數）．問是否存在兩個定點,使得？若存在,求的坐標及的值；若不存在,說明理由．

Answer 1

(1) (2)存在,

試題分析：
(1)根據題意,可知,可得,從而得到橢圓方程．
(2)假設存在，因為這兩點是由點決定的，而點離不開點,所以設出點,三點,根據,尋找三點坐標之間的關系．可得出結論點是橢圓上的點,根據,可知,所以得到值．進而可確定是否存在兩點．
（1）有題設可知： 又
∴橢圓標準方程為
（2）假設存在這樣的兩點，則設，
由得,
因為點在橢圓上,所以 ,
故


由題設條件知,因此,所以．
即 所以點是橢圓上的點，
設該橢圓的左、右焦點為,則由橢圓的定義．
又因 
因此兩焦點的坐標為 ．