Question

【題目】某學校有甲、乙兩個實驗班，為了了解班級成績，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩個班學生中分別抽取8名和6名測試他們的數學成績與英語成績（單位：分），用表示（m，n）．下面是乙班6名學生的測試分數：A（138，130），B（140，132），C（140，130），D（134，140），E（142，134），F（134，132），當學生的數學、英語成績滿足m≥135，且n≥130時，該學生定為優秀學生．
（1）已知甲班共有80名學生，用上述樣本數據估計乙班優秀生的數量；
（2）從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取3名，求至少有兩名優秀生的概率；
（3）從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取2名，其中優秀生數記為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】
（1）解：設乙班共有學生x名，則 ，解得x=60．即乙班共有學生60名．由測試成績可知：A，B，C，E四名學生為優秀生，∴ =40．

∴用上述樣本數據估計乙班優秀生的數量為40

（2）解：至少有兩名優秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優秀學生，另一種是3名都是優秀生．

∴要求的概率P= =

（3）解：由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取1名是優秀生的概率為 ．

則ξ～B ，P（ξ=k）= ，可得P（ξ=0）= ，P（ξ=1）= ，P（ξ=0）= ．

ξ	0	1	2
P

∴Eξ= =

【解析】（1）設乙班共有學生x名，則 ，解得x=60．即乙班共有學生60名．由測試成績可知：A，B，C，E四名學生為優秀生，即可得出．（2）至少有兩名優秀生的情況包括兩種：一種是只有兩名優秀學生，另一種是3名都是優秀生．利用互斥事件與相互獨立事件、古典概率計算公式即可得出．（3）由已知可得：ξ的值為0，1，2，從乙班抽出的上述6名學生中隨機抽取1名是優秀生的概率為 ．

則ξ～B ，P（ξ=k）= ，即可得出分布列與數學期望．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解離散型隨機變量及其分布列的相關知識，掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．