Question

【題目】已知等差數列{an}的首項a1=2，前n項和為Sn ， 等比數列{bn}的首項b1=1，且a2=b3 ， S3=6b2 ， n∈N* ．
（1）求數列{an}和{bn}的通項公式；
（2）數列{cn}滿足cn=bn+（﹣1）nan ， 記數列{cn}的前n項和為Tn ， 求Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）解：設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q．

∵a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．

∴2+d=q2，3×2+ =6q，

聯立解得d=q=2．

∴an=2+2（n﹣1）=2n，bn=2n﹣1

（2）解：cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n2n．

∴數列{cn}的前n項和為Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]= +[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]．

∴n為偶數時，Tn=2n﹣1+[（﹣2+4）+（﹣6+8）+…+（﹣2n+2+2n）]．

=2n﹣1+n．

n為奇數時，Tn=2n﹣1+ ﹣2n．

=2n﹣2﹣n．

∴Tn=

【解析】（1）設等差數列{an}的公差為d，等比數列{bn}的公比為q．根據a1=2，b1=1，且a2=b3，S3=6b2，n∈N*．

可得2+d=q2，3×2+ =6q，聯立解得d，q．即可得出．（2）cn=bn+（﹣1）nan=2n﹣1+（﹣1）n2n．可得數列{cn}的前n項和為Tn=1+2+22+…+2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]=2n﹣1+[﹣2+4﹣6+8+…+（﹣1）n2n]．對n分類討論即可得出．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．