Question

【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離比到直線x=﹣2的距離小1，動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為E．
（1）求曲線E的方程；
（2）若直線l：y=kx+m（km＜0）與曲線E相交于A，B兩個(gè)不同點(diǎn)，且 ，證明：直線l經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意可得動(dòng)點(diǎn)C到點(diǎn)F（1，0）的距離等于到直線x=﹣1的距離，

∴曲線E是以點(diǎn)（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=﹣1為準(zhǔn)線的拋物線，

設(shè)其方程為y2=2px（p＞0），∴ ，∴p=2，

∴動(dòng)點(diǎn)C的軌跡E的方程為y2=4x

（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由 ，整理得k2x2+（2km﹣4）x+m2=0，

∴ ， ．

∵ ，

∴x1x2+y1y2= = ，

∴m2+4km﹣5k2=0，∴m=k或m=﹣5k，又km＜0，m=k舍去，m=﹣5k，滿(mǎn)足△=16（1﹣km）＞0，

則直線l的方程為y=k（x﹣5），

∴直線l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（5，0）

【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求得曲線E的方程；（2）設(shè)直線l的方程，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得m=﹣5k，即可求得直線l的方程，則直線l必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（5，0）．