Question

【題目】已知函數為奇函數.

（1）求實數的值；

（2）用定義法討論并證明函數的單調性.

Answer 1

【答案】（1） （2）在定義域上為減函數，證明見解析

【解析】

(1)根據奇函數的定義，得出，化簡得到，從而得到或1，再判斷函數定義域是否關于原點對稱，即可確定實數的值；

(2) 令，利用作差法比較，的大小，再根據對數函數的單調性得，即，結合函數單調性的定義，即可判斷函數的單調性.

解：（1）由及函數為奇函數可知，

有，得

有，得，得，故有或1，

①當時，，此時函數定義域為，不關于原點對稱，不可能是奇函數，

②當時，，令，可得，故此時函數的定義域為關于原點對稱，函數為奇函數.

由上知.

（2）由（1）知，

令，有，

∵，

∴，，，

∴，可得，即，

利用對數函數的單調性得，即，

故函數在定義域上為減函數.