Question

【題目】若數列是公差為2的等差數列，數列滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求數列,的通項公式；

（2）設數列滿足，數列的前n項和為，若不等式

對一切n∈N*恒成立，求實數λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(－2，3)。

【解析】

（1）對于anbn＋bn＝nbn＋1.令n=1可求得a1＝1，由等差數列的通項公式可求得an＝2n－1。進而anbn＋bn＝nbn＋1可變為2bn＝bn＋1，可得數列為等比數列，由等比數列的通項公式可求得bn＝2n－1. （2）根據已知條件應先求得cn＝＝，由特點根據錯位相減法可求得Tn＝4－.則不等式(－1)nλ<Tn＋，化為(－1)nλ<4－，對n分奇數、偶數討論，根據不等式恒成立可求實數λ的取值范圍。

(1) ∵數列{bn}滿足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴ n＝1時，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又數列{an}是公差為2的等差數列，

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

∴ 2nbn＝nbn＋1，化為2bn＝bn＋1，

∴數列{bn}是首項為1，公比為2的等比數列.

∴bn＝2n－1.

(2)由數列{cn}滿足cn＝＝＝，數列{cn}的前n項和為

Tn＝1＋＋＋…＋，

∴ Tn＝＋＋…＋＋，

兩式作差，得

∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，

∴Tn＝4－.

不等式(－1)nλ<Tn＋，化為(－1)nλ<4－，

當n＝2k(k∈N*)時，λ<4－，取n＝2，

∴λ<3.

當n＝2k－1(k∈N*)時，－λ<4－，取n＝1，

∴λ>－2.

綜上可得：實數λ的取值范圍是(－2，3).