Question

【題目】如圖，已知三棱柱A1B1C1﹣ABC中，側(cè)棱與底面垂直，AB=BC=AA1 ， ∠ABC=90°，M是BC的中點．

（1）求證：A1B∥平面AMC1；
（2）求平面A1B1M與平面AMC1所成角的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)A1C，交AC1于點O，連結(jié)OM，

∵ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，

∴四邊形ACC1A1為矩形，O為A1C的中點，

又∵M為BC中點，∴OM為△A1BC中位線，

∴A1B∥OM，

∵OM平面AMC1，A1B平面AMC1，

∴A1B∥平面AMC1．

（2）解：∵三棱柱A1B1C1﹣ABC中，側(cè)棱與底面垂直，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，M是BC的中點，

∴以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，

設(shè)BA=2，則B（0，0，0），C（2，0，2），A1（0，2，2），

則 =（1，﹣2，0）， =（2，﹣2，2），

=（0，﹣2，0）， =（1，0，﹣2），

=（0，﹣2，0）， =（1，0，﹣2），

設(shè)平面AMC1的法向量為 =（x，y，z），

則 ，取y=1，得 =（2，1，﹣1），

設(shè)平面A1B1M的法向量 =（a，b，c），

則 ，取c=1，得 =（2，0，1），

cos＜ ＞= = = ，

∴平面A1B1M與平面AMC1所成角的銳二面角的余弦值為

【解析】（1）連結(jié)A1C，交AC1于點O，連結(jié)OM，則A1B∥OM，由此能證明A1B∥平面AMC1 ． （2）以B為原點，BC為x軸，BA為y軸，BB1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出平面A1B1M與平面AMC1所成角的銳二面角的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用直線與平面平行的判定，掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行即可以解答此題．