Question

【題目】如圖，圓與軸相切于點(diǎn)，與軸正半軸交于兩點(diǎn)，（在的上方），且.

（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)作任一條直線與圓：相交于，兩點(diǎn).

①求證：為定值，并求出這個(gè)定值；

②求的面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）①；證明見解析②

【解析】

（1）由直線與圓相交，利用勾股定理構(gòu)建方程求得半徑，得答案；

（2）①分類討論是否存在，當(dāng)存在時(shí)，可聯(lián)立直線與圓的方程，進(jìn)而確定的關(guān)系，利用斜率k分別表示,，再利用弦長(zhǎng)公式表示，作商并化簡(jiǎn)，得答案；當(dāng)不存在時(shí)，M為特殊位置，直接表示，作商，得答案；

②利用點(diǎn)到直線的距離公式表示點(diǎn)B到的距離，利用弦長(zhǎng)公式表示，最后表示所求的面積，借助換元法求得函數(shù)的最大值即可.

（1）由題可知點(diǎn)，所以可以設(shè)圓心

因?yàn)?/span>，所以由，解得，所以

所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）①證明：由（1）可得，

當(dāng)存在時(shí)，設(shè)

將直線和圓的方程聯(lián)立：

得——Ⅰ

設(shè)，，且，

那么，

所以——Ⅱ

由Ⅰ得，

將其代入Ⅱ化簡(jiǎn)可得；

當(dāng)不存在時(shí)，顯然為或

此時(shí)或

則

綜上所述：為定值

②由題可知此時(shí)必然存在，仍設(shè)

則點(diǎn)B到的距離為：

由①可知Ⅰ式：

則

所以

故

令，則

其內(nèi)部函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為

故當(dāng)時(shí)，.