Question

【題目】一位老人把他積蓄的枚金幣分給個兒女（、為大于 1 的正整數）.首先， 給老大 1 枚金幣和余下的；然后，從余下的金幣中給老二 2 枚金幣和余下的；依此類推 ，第幾個孩子就分幾枚金幣和余下的，直到最小的孩子分到最后剩下的枚金幣.問老人分給每個孩子的金幣是否一樣多？

Answer 1

【答案】一樣多

【解析】

設分給第個兒女后還剩枚金幣， 則，

.

故.

這表明數列是等比數列，公比，其中首項、末項分別為

，.

代入通項公式得，

即.

由為正整數知，.

又與互質，故.

但，

故有.

解得.從而，.

由此可知，

老大分得枚，

老二分得枚，

老三分得枚，

老四分得枚，

老五分得枚，

最小的孩子分得剩下的6枚.

所以， 老人分給每個孩子的金幣是一樣多的.

說明：本題給出了第 9 IMO 第 6題的一個原型.