Question

【題目】已知拋物線（），點在的焦點的右側，且到的準線的距離是到距離的3倍，經過點的直線與拋物線交于不同的、兩點，直線與直線交于點，經過點且與直線垂直的直線交軸于點.

（1）求拋物線的方程和的坐標；

（2）判斷直線與直線的位置關系，并說明理由；

（3）橢圓的兩焦點為、，在橢圓外的拋物線上取一點，若、的斜率分別為、，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1），（2），詳見解析（3）

【解析】

（1）由題意得出，以及，可求出的值，從而得出拋物線的方程以及焦點的坐標；

（2）設點、，直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，并列出韋達定理，并求出、兩點的坐標，在時，由與同時與軸垂直得出，在時，由得出，即可解答該問題；

（3）設點，得出，由點在拋物線上且在橢圓外得出，由函數在上單調遞增，可得出的取值范圍.

（1）由于點在拋物線的焦點的右側，所以，，

由于到的準線的距離是到距離的倍，即，解得，

因此，拋物線的方程為，其焦點的坐標為；

（2），理由如下：

設， ，聯立，

得，，

；，令得，

，令得，

當時，直線斜率不存在，

此時，，直線斜率也不存在；

當時，，則；

（3）設點，則，

因為點在橢圓外，所以，

即，即，，解得，

由于函數在上單調遞增，則，

.