Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）恒成立的實(shí)數(shù)的最大值；

（2）設(shè)，，且滿(mǎn)足，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析

【解析】

（1）化為分段函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性即可求出函數(shù)的最小值，即可求出的值，

（2）由m＞0，n＞0，且，即：，化簡(jiǎn)≥2|m+2n|，由2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（）4即可證得.

（1）已知函數(shù)，.由題意得，恒成立，

即h（x）==2|x﹣1|﹣|x+1|＝，

顯然，h（x）在（﹣∞，1]上單調(diào)遞減，在（1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴h（x）min＝h（1）＝﹣2，∴t﹣2，即最大值=-2.

（2）由于m＞0，n＞0，且，即：，

=+=2（|m+1|+|2n﹣1|）≥2|m+2n|，

∴2|m+2n|＝2（m+2n）＝2（m+2n）（），

當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)n＝，m＝時(shí)取“＝”，

故