【題目】已知函數
.
（1）若
滿足
為
上奇函數且
為上偶函數，求
的值；
（2）若函數
滿足
對
恒成立，函數
，求證：函數
是周期函數，并寫出的一個正周期；
（3）對于函數，
，若
對恒成立，則稱函數是“廣義周期函數”， 
是其一個廣義周期，若二次函數
的廣義周期為（
不恒成立），試利用廣義周期函數定義證明：對任意的
，
，
成立的充要條件是
.
【答案】（1）0；（2）證明見解析，正周期為24；（3）證明見解析
【解析】
（1）根據奇偶函數得到關于
等式，對等式進行變形可得到的周期，再采用賦值的方法計算出
的值；
（2）討論
與
的關系，然后根據與周期的公倍數可求得
的一個正周期；
（3）從充分性和必要性兩個方面分別證明.
（1）因為
滿足
為
上奇函數，所以
，所以
，
又因為滿足
為上偶函數，所以
，所以
，
所以有
，所以
，所以
，
所以
，所以的一個周期為
，
又因為
，所以
，又因為
，所以
，
又因為
，所以
，所以
；
（2）因為
，
所以
，
因為
，所以
，
所以是周期函數，一個正周期為
；
（3）充分性：當
時，
，
此時
，所以充分性滿足；
必要性：因為二次函數
的廣義周期為
，
所以
，所以
，
所以
，又因為
不恒成立，
所以
，所以
，
又因為
，所以
，
，
由
可知：
，即，所以必要性滿足.
所以：對任意的
，，
成立的充要條件是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
（
），點
在
的焦點
的右側，且
到的準線的距離是到距離的3倍，經過點的直線與拋物線交于不同的
、
兩點，直線
與直線
交于點
，經過點且與直線垂直的直線
交
軸于點
.
（1）求拋物線的方程和的坐標；
（2）判斷直線
與直線
的位置關系，并說明理由；
（3）橢圓
的兩焦點為
、
，在橢圓外的拋物線上取一點
，若
、
的斜率分別為
、
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若存在
與正實數
，使得
成立，則稱函數
在
處存在距離為
的對稱點，把具有這一性質的函數稱之為“
型函數”．
（1）設
，試問是否是“
型函數”？若是，求出實數的值；若不是，請說明理由；
（2）設
對于任意
都是“型函數”，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】甲乙兩人分別投擲兩顆骰子與一顆骰子，設甲的兩顆骰子的點數分別為
與
，乙的骰子的點數為
，則擲出的點數滿足
的概率為________（用最簡分數表示）.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直線
平面
，四邊形是正方形，且
，點
，
，
分別是線段
，
，
的中點.
(1)求異面直線
與
所成角的大小(結果用反三角表示)；
(2)在線段上是否存在一點
，使
，若存在，求出
的長，若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如果數列
對于任意
，都有
，其中
為常數，則稱數列是“間等差數列”，為“間公差”.若數列滿足
，，
.
（1）求證：數列是“間等差數列”，并求間公差；
（2）設
為數列的前n項和，若的最小值為-153，求實數
的取值范圍；
（3）類似地：非零數列
對于任意，都有
，其中
為常數，則稱數列是“間等比數列”，為“間公比”.已知數列
中，滿足
，
，
，試問數列是否為“間等比數列”，若是，求最大的整數
使得對于任意，都有
；若不是，說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下圖為函數
的部分圖象，
、
是它與
軸的兩個交點，
、
分別為它的最高點和最低點，
是線段
的中點，且
為等腰直角三角形.
（1）求
的解析式；
（2）將函數圖象上的每個點的橫坐標縮短為原來的一半，再向左平移
個單位長度得到
的圖象，求的解析式及單調增區間，對稱中心.
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