Question

【題目】某景區欲建兩條圓形觀景步道（寬度忽略不計），如圖所示，已知，（單位：米），要求圓M與分別相切于點B，D，圓與分別相切于點C，D．

（1）若，求圓的半徑；（結果精確到0.1米）

（2）若觀景步道的造價分別為每米0.8千元與每米0.9千元，則當多大時，總造價最低？最低總造價是多少？（結果分別精確到0.1°和0.1千元）

Answer 1

【答案】（1）34.6米，16.1米；（2）263.8千元．

【解析】

（1）利用切線的性質即可得出圓的半徑；

（2）設∠BAD＝2α，則總造價y＝0.82π60tanα+0.92π60tan（45°﹣α），化簡，令1+tanα＝x換元，利用基本不等式得出最值．

（1）連結M1M2，AM1，AM2，

∵圓M1與AB，AD相切于B，D，圓M2與AC，AD分別相切于點C，D，

∴M1，M2⊥AD，∠M1AD＝∠BAD＝，∠M2AD＝，

∴M1B＝ABtan∠M1AB＝60×＝20≈34.6（米），

∵tan＝＝，∴tan＝2﹣，

同理可得：M2D＝60×tan＝60（2﹣）≈16.1（米）．

（2）設∠BAD＝2α（0＜α＜），由（1）可知圓M1的半徑為60tanα，圓M2的半徑為

60tan（45°﹣α），

設觀景步道總造價為y千元，則y＝0.82π60tanα+0.92π60tan（45°﹣α）＝96πtanα+108π，

設1+tanα＝x，則tanα＝x﹣1，且1＜x＜2．

∴y＝96π（x﹣1）+108π（）＝12π（8x+﹣17）≥84π≈263.8，

當且僅當8x＝即x＝時取等號，

當x＝時，tanα＝，∴α≈26.6°，2α≈53.2°．

∴當∠BAD為53.2°時，觀景步道造價最低，最低造價為263.8千元．