Question

【題目】已知函數

（1）討論函數的單調性；

（2）若，其中為自然對數的底數，求證：函數有2個不同的零點；

（3）若對任意的恒成立，求實數的最大值.

Answer 1

【答案】(1) 在單調遞增，在單調遞減. (2)證明見解析； (3)2

【解析】

（1）求得函數的導數，根據導數值的符號，即可求得函數的單調區間；

（2）由（1）的結論，求得函數的極大值，再結合實數與的關系，即可作出證明；

（3）設，求得，利用，求得函數在時單調遞增，進而分和討論，即可求解，得到結論.

（1）由題意，函數，可得，

當時，,在單調遞增；

當時，令，則，令，則，

所以在單調遞增，在單調遞減.

（2）由（1）可知，當時，函數的最大值為：

，

因為，所以，因此有，

因為，所以，因此當時，函數有唯一零點；

因為，所以，，

故函數在時，必有唯一的零點，因此函數有2個不同的零點；

（3）設，，

，因為，所以函數在時單調遞增，

即

當時，即，時，，函數在時單調遞增，因此有，即當時，恒成立；

當時，所以存在，使得，

即當時，函數單調遞減，所以此時，

顯然對于當時，不恒成立，

綜上所述，，所以實數的最大值為.