Question

【題目】曲線與兩坐標軸的交點都在圓上，圓與軸正半軸、軸正半軸分別交于，兩點.

（Ⅰ）求圓的方程；

（Ⅱ）過點作直線與圓交于，兩點，是否存在使得與共線，如果存在求直線的方程，若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，方程為.

【解析】

（Ⅰ）令，則或，令，則，得到曲線與坐標軸交點為，，，再求圓的方程.

（Ⅱ）假設存在滿足條件，當的斜率不存在時，不滿足條件，當斜率存在時，設的方程為，聯立得，設，，利用韋達定理求得 的坐標，再根據共線向量定理求解.

（Ⅰ）令，則或，

令，則，

曲線與坐標軸交點為，，，

設圓心為，則，

∴，

，

∴圓的方程為.

（Ⅱ）假設存在滿足條件，

當的斜率不存在時，不滿足條件，

當的斜率存在時，設的方程為，

由得，

，

設，，則，，

，

，

由（1）知，，

∴，

若與共線，則，

整理得，

∴或，

經檢驗，符合，

∴存在的方程為.