Question

【題目】已知點N在曲線上，直線與軸交于點，動點滿足，記點的軌跡為

（1）求的軌跡方程；

（2）若過點的直線與交于兩點，點在直線上 (為坐標原點)，求證：

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見解析.

【解析】

（1）設出點的坐標，利用構造出坐標的表達式，再利用點是曲線上的一點，代入即可求解；

（2）結合拋物線的定義及圖象，將問題轉化為證明垂直準線

（1）)依題意，可得，設，

由，可得，解得，

因為點在，代入整理得，

即曲線的軌跡方程.

（2）設直線的方程是， ，

聯立方程組，整理得，

由

因為直線 的方程為，將的坐標代人可得，

根據拋物線的定義，可得等于點 到準線的距離，

由于 在準線上，

所以要證明只需證明 垂直準線，即證 軸，

因為的橫坐標為

所以軸成立，所以成立.