Question

設橢圓的四個頂點A、B、C、D, 若菱形ABCD的內切圓恰好經過橢圓的焦點, 則橢圓的離心率為         __  ．

Answer 1

試題分析：由題意，不妨設點A（a，0），B（0，b），則直線AB的方程為：，即bx+ay-ab=0。
∵菱形ABCD的內切圓恰好過焦點，∴原點到直線AB的距離為，
∴a²b²=c²（a²+b²），∴a²（a²-c²）=c²（2a²-c²），∴a⁴-3a²c²+c⁴=0，∴e⁴－3e²+1=0，
解得e²=，∵0＜e＜1，∴e=。
點評：中檔題，解題的關鍵是利用菱形ABCD的內切圓恰好過焦點，得到原點到直線AB的距離等于半焦距，確定得到a，b，c的關系。