Question

【題目】（1）某中學理學社為了吸收更多新社員，在校團委的支持下，在高一學年組織了抽簽贈書活動.月初報名，月末抽簽，最初有30名同學參加.社團活動積極分子甲同學參加了活動.

①第一個月有18個中簽名額.甲先抽簽，乙和丙緊隨其后抽簽.求這三名同學同時中簽的概率.

②理學社設置了第()個月中簽的名額為，并且抽中的同學退出活動，同時補充新同學，補充的同學比中簽的同學少2個，如果某次抽簽的同學全部中簽，則活動立刻結束.求甲同學參加活動時間的期望.

（2）某出版集團為了擴大影響，在全國組織了抽簽贈書活動.報名和抽簽時間與（1）中某中學理學社的報名和抽簽時間相同，最初有30萬人參加，甲同學在其中.每個月抽中的人退出活動，同時補充新人，補充的人數與中簽的人數相同.出版集團設置了第()個月中簽的概率為，活動進行了個月，甲同學很幸運，中簽了，在此條件下，求證：甲同學參加活動時間的均值小于個月.

Answer 1

【答案】（1）①②（2）證明見解析；

【解析】

（1）①設甲乙丙中簽為事件，則，計算得到答案.

②甲參加活動的時間的可能取值為，計算概率得到數學期望.

（2）設甲中簽為事件，則，，利用錯位相減法得到，得到證明.

（1）①設甲乙丙中簽為事件，

則.

②，故，則甲參加活動的時間的可能取值為，

則；；

；

.

則甲參加活動的時間的期望為.

（2）設甲中簽為事件，則，

設，甲在第個月中中簽的概率為，

則甲在事件A發生的條件下，第個月中中簽的概率為，

則甲在事件A發生的條件下，甲參加活動時間的均值為

，

設，

則，

所以，

，

所以.