Question

【題目】在三棱錐中，，二面角、、的大小均為，設三棱錐的外接球球心為，直線交平面于點，則三棱錐的內切球半徑為_______________，__________

Answer 1

【答案】

【解析】

作平面，垂足為，則由已知是內心，由直角三角形的性質求得內切圓半徑從而可得，由此用體積法求得內切球半徑，過斜邊中點作平面的垂線，則外接球球心在此垂線上，只是要確定在平面的哪一側，可分類討論，同時由垂直得平行，從而得共線，求出外接球半徑，求得后可得結論．

如圖，作平面，垂足為，過作于，連接，由平面，平面，得，同理，又，所以平面，而平面，所以，所以為二面角的平面角，所以，所以，

　　　　　圖1

又面角、、的大小均為，所以到三邊距離相等，點到的距離也相等，所以是的內心，

因為，所以，，

所以，從而，，

，

， ，，，

所以三棱錐的全面積為，

設內切球半徑為，則，所以．

設是中點，則是外心，所以平面，所以，則共線，

在直角中，以為軸建立平面直角坐標系，由，，∴，

設三棱錐外接球半徑為，即，若在圖1位置所示，由直角梯形和直角得（*），解得與（*）式不合，

圖2

若如圖2位置所示，則，解得，此時，

∴，∴．

故答案為：；．