【題目】已知函數
的定義域為
，對于任意的
都有
，設
時， 
.
（1）求
；
（2）證明：對于任意的
， 
；
（3）當
時，若不等式
在
上恒定成立，求實數
的取值范圍.
【答案】(1) 
; (2)詳見解析;(3) 
.
【解析】試題分析：（1）令
， 
， 
；（2）令
， 
， 
， 
，結合
時， 
即可得結果；（3）先證明函數
在
單調遞減，根據
，將原不等式化為
，可得
化簡，利用不等式恒成立可得結果..
試題解析：（1）令
， 
， 
.
（2）由題意當
時， 
由（1）知，當
， 
所以下證，當
時， 
， 
.
（3）
令
， 
， 
，假設
， 
故函數
在
單調遞減，
化簡得： 
， 
.
【方法點晴】本題主要考查抽象函數的定義域、抽象函數的單調性及抽象函數解不等式，屬于難題.根據抽象函數的單調性解不等式應注意以下三點：（1）一定注意抽象函數的定義域（這一點是同學們容易疏忽的地方，不能掉以輕心）；（2）注意應用函數的奇偶性（往往需要先證明是奇函數還是偶函數）；（3）化成
后再利用單調性和定義域列不等式組.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓
和點
，動圓
經過點
且與圓
相切，圓心
的軌跡為曲線
（1）求曲線
的方程；
（2）點
是曲線
與
軸正半軸的交點，點
在曲線
上，若直線
的斜率
滿足
求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中各月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖．圖中A點表示十月的平均最高氣溫約為15℃，B點表示四月的平均最低氣溫約為5℃．下面敘述不正確的是 ( )
A. 各月的平均最低氣溫都在0℃以上
B. 七月的平均溫差比一月的平均溫差大
C. 三月和十一月的平均最高氣溫基本相同
D. 平均最高氣溫高于20℃的月份有5個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如下圖，已知橢圓
的上頂點為
，左、右頂點為
，右焦點為
， 
，且
的周長為14.
（I）求橢圓的離心率；
（II）過點
的直線
與橢圓相交于不同兩點
，點N在線段
上．設
，試判斷點
是否在一條定直線上，并求實數λ的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知中心在原點的橢圓
的兩焦點分別為雙曲線
的頂點，直線
與橢圓
交于
、
兩點，且
，點
是橢圓
上異于
、
的任意一點，直線
外的點
滿足
， 
．
（1）求點
的軌跡方程；
（2）試確定點
的坐標，使得
的面積最大，并求出最大面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】學校藝術節對同一類的
，
，
，
四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下：
甲說：“是或作品獲得一等獎”；
乙說：“作品獲得一等獎”；
丙說：“，兩項作品未獲得一等獎”；
丁說：“是作品獲得一等獎”.
若這四位同學中只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是__________．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分12分）某班主任對全班50名學生學習積極性和參加社團活動情況進行調查，統計數據如表1所示
表1
參加社團活動 | 不參加社團活動 | 合計 | |
學習積極性高 | 17 | 8 | 25 |
學習積極性一般 | 5 | 20 | 25 |
合計 | 22 | 28 | 50 |
（1）如果隨機從該班抽查一名學生，抽到參加社團活動的學生的概率是多少？抽到不參加社團活動且學習積極性一般的學生的概率是多少？
（2）運用獨立檢驗的思想方法分析：學生的學習積極性與參加社團活動情況是否有關系？并說明理由．
| 0．05 | 0．01 | 0．001 |
| 3．841 | 6．635 | 10．828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，我海監船在
島海域例行維權巡航，某時刻航行至
處，此時測得其東北方向與它相距
海里的
處有一外國船只，且島位于海監船正東
海里處.
（1）求此時該外國船只與島的距離；
（2）觀測中發現，此外國船只正以每小時
海里的速度沿正南方向航行，為了將該船攔截在離島
海里處，不讓其進入島海里內的海域，試確定海監船的航向，并求其速度的最小值．（參考數據：
，
）
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