Question

【題目】已知函數.

（1）求曲線在點處的切線方程；

（2）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）求得函數的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線方程；（2）函數在上單調遞增，可得在上恒成立，即在上恒成立，令，可得在上恒成立，可令，由且，解不等式即可得到所求范圍.

試題解析：（1），

，所以所求切線的方程為：

即；

（2）因為函數在上單調遞增，所以在上恒成立，

即在上恒成立，

令，即 對任意的恒成立，

令，則需，

所以，即.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出在處的導數，即在點 出的切線斜率（當曲線在處的切線與軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為）；（2）由點斜式求得切線方程.