Question

【題目】如下圖，已知橢圓的上頂點為，左、右頂點為，右焦點為， ，且的周長為14.

（I）求橢圓的離心率；

（II）過點的直線與橢圓相交于不同兩點，點N在線段上．設，試判斷點是否在一條定直線上，并求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）根據條件計算得的值，進而可求離心率；

（Ⅱ）設l的方程為，與橢圓聯立得， ，根據條件，化簡得，帶入條件可得，由即可求得的范圍.

試題解析：

（I）由，得，

的周長為，即，得，

所以，橢圓的離心率為；

（II）顯然直線l的斜率存在，設l的方程為，

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，

由，得，化簡得①，-----6分

由消去x，得，

得， ，

代入①式得，由得，

，

因為，得，所以，

因此，N在一條直線上，實數．

【法二：顯然直線l的斜率存在，設l的方程為，不妨設，

設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， ，

由，得，化簡得①，6分

由， ，得②，

由消去x，得，

可知 ，

得， ， ，

代入①式得，由得，

由②式得 ，得，

因此，N在一條直線上，實數．

法三：設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)， ，由，

得

所以,將， 代入橢圓方程得

上面兩式相減化簡得

，

因為，得，所以，

因此，N在一條直線上，實數．