Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數在的單調性；

（2）當且時，，求函數在上的最小值；

（3）當時，有兩個零點，，且，求證：.

Answer 1

【答案】（1）在上單調遞增（2）（3）證明見解析

【解析】

（1）求得函數的導數，結合導數的符號，即可求得函數的單調性；

（2）由，求得，分類討論求得函數的單調性與極值，進而求得函數的最小值，得到答案.

（3）由，根據題意，得到，，

兩式相減，，令，得到函數，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數，則，

又∵，∴，，∴，

∴在上單調遞增.

（2）由，則，

（1）當時，，，

此時圖數在區間上單調遞減，

∴函數在處取得最小值，即；

（2）當時，令，

當時，即當，，，

此時函數在區間上單調遞減，函數在處取得最小值，

即；

綜上所得.

（3）證明：根據題意，，

∵，是函數的兩個零點，

∴，.

兩式相減，可得，即，

∴，則，.

令，，則.

記，，則.

又∵，∴恒成立，故，即.

可得，∴.