Question

【題目】已知橢圓，記為與原點距離等于的全體直線所成的集合.問：是否存在常數，使得對任意的直線，均存在、，、分別過 與橢圓的交點、，且有？并說明理由.

Answer 1

【答案】

【解析】

假設存在滿足題設條件的常數.取為特殊直線：，且與橢圓交于、兩點.

作以原點為圓心、為半徑的圓與軸的正半軸交于點.顯然，圓與直線切于點，且.

依題意，存在直線、，分別過點、，且與圓相切.設切點分別為、.

則、分別垂直相互平行的直線、.故為圓的直徑.

從而，是梯形的中位線.

由，知，.

因此，點，且，.

又點在橢圓上，由假設知橢圓方程為.

下面證明：即為所求.

先證明：若，且與橢圓交于點、，則.

設直線.

則原點到的距離為.

故.

將直線的方程代入橢圓方程得.

設，.

則由韋達定理得，

.故

，即.

易證，若直線的斜率不存在，則.

假設、分別與橢圓交于點與、與.則

，，，且，.

故，即.

綜上，存在唯一滿足題意.