Question

【題目】已知函數f（x）是定義在[﹣1，1]上的函數，若對于任意的x，y∈[﹣1，1]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時，有f（x）＞0．
（1）求f（0）的值；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）在[﹣1，1]上是增函數還是減函數，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據題意，在f（x+y）=f（x）+f（y）中，

令x=y=0，則f（0+0）=f（0）+f（0），

∴f（0）=0

（2）解：令y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），即f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），

又x∈[﹣1，1]，其定義域關于原點對稱，

∴f（x）是奇函數

（3）解：設x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，則x2﹣x1＞0．

∵x＞0時，有f（x）＞0，∴f（x2﹣x1）＞0，

又∵f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），

∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

即f（x1）＜f（x2），

∴函數f（x）在[﹣1，1]上是增函數

【解析】（1）根據題意，用特殊值法，令x=y=0，可得f（0+0）=f（0）+f（0），計算可得答案；（2）在f（x+y）=f（x）+f（y）中，令y=﹣x，可得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x），進而由（1）的結論，可得f（﹣x）=﹣f（x），考慮f（x）的定義域，可得答案；（3）設x1 ， x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2 ， 結合f（x+y）=f（x）+f（y）可得f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）=f（x2）﹣f（x1），又由題意，x＞0時，有f（x）＞0，可得f（x2）＞f（x1），即可得證明．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用奇偶性與單調性的綜合的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．