Question

【題目】如圖，在長(zhǎng)方體中，，，分別是面，面，面的中心，，．

（1）求證：平面平面；

（2）求三棱錐的體積；

（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；如果不存在，求說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在,

【解析】

（1）延長(zhǎng)分別至,由中心可得到中點(diǎn),利用中位線證明相交直線平行即可證得面面平行；

（2）先求出三棱錐的體積,再由三棱錐各邊的比求出的體積即可；

（3）將平面平面轉(zhuǎn)化為平面平面,由長(zhǎng)方體可得,因?yàn)?/span>,作出即可,進(jìn)而求得

（1）證明：延長(zhǎng)分別至,

,,分別是面,面,面的中心,

,,是,,的中點(diǎn),

,,

又,,

平面,平面,

平面平面

（2）由題,

,

由（1）可得,三棱錐的各棱長(zhǎng)為三棱錐的,

（3）存在,

是長(zhǎng)方體的側(cè)棱,

平面,

平面,

,

連接,作,垂足為,

因?yàn)殚L(zhǎng)方體,,,,

,

,平面,

平面,

平面,

平面平面,

由（1）,平面平面,

平面平面,

此時(shí),,

,

,即,則,

,

,