Question

【題目】設函數，．

（1）若曲線在點處的切線與軸平行，求；

（2）當時，函數的圖象恒在軸上方，求的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）a=e；（Ⅱ）a的最大值為2e；

【解析】

（Ⅰ）先求導數，再根據導數幾何意義得切線斜率，最后根據條件列方程解得a；（Ⅱ）先求導數，再根據導函數零點與1大小分類討論，根據函數單調性確定函數最小值，最后根據最小值大于零，解得a的取值范圍，即得最大值.

（Ⅰ）∵，∴f'（x）=exa，∴f'（1）=ea，

由題設知f'（1）=0，即ea=0，解得a=e．

經驗證a=e滿足題意．

（Ⅱ）令f'（x）=0，即ex=a，則x=lna，

（1）當lna＜1時，即0＜a＜e

對于任意x∈（-∞，lna）有f'（x）＜0，故f（x）在（-∞，lna）單調遞減；

對于任意x∈（lna，1）有f'（x）＞0，故f（x）在（lna，1）單調遞增，

因此當x=lna時，f（x）有最小值為成立．所以0＜a＜e，

（2）當lna≥1時，即a≥e對于任意x∈（-∞，1）有f'（x）＜0，

故f（x）在（-∞，1）單調遞減，所以f（x）＞f（1）．

因為f（x）的圖象恒在x軸上方，所以f（1）≥0，即a≤2e，

綜上，a的取值范圍為(0,2e],所以a的最大值為2e．