Question

【題目】過曲線的左焦點作曲線的切線，設切點為，延長交曲線于點，其中有一個共同的焦點，若，則曲線的離心率為________．

Answer 1

【答案】

【解析】

設雙曲線的右焦點為，根據曲線與有一個共同的焦點，得到拋物線方程， 再根據O為的中點，M為的中點，利用中位線定理，可得，，，， .設，根據拋物線的定義可得，

過點作x軸的垂線，點到該垂線的距離為2a，然后在中，利用勾股定理求解.

如圖所示：

設雙曲線的右焦點為，則的坐標為，

因為曲線與有一個共同的焦點，

所以，

因為O為的中點，M為的中點，

所以OM為的中位線，

所以，

因為，所以

又，

所以.設，

則由拋物線的定義可得，

過點作x軸的垂線，點到該垂線的距離為，

在中，由勾股定理即得，

即，

即，

解得.

故答案為：