Question

【題目】如圖，四棱錐中，，平面平面，，為的中點.

（1）求證://平面；

（2）求點到面的距離

（3）求二面角平面角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）見詳解；（2）；（3）

【解析】

（1）通過取中點，利用中位線定理可得四變形為平行四邊形，然后利用線面平行的判定定理，可得結果.

（2）根據,可得平面，可得結果.

（3）作，作，可得二面角平面角為，然后計算，可得結果.

（1）取中點，連接，如圖

由為的中點，所以//且

又，且，

所以//且，

故//且，

所以四變形為平行四邊形，故//

又平面，平面

所以//平面

（2）由，平面

平面平面，

平面平面

所以平面，又平面

所以，由，

所以為正三角形，所以

則平面

所以平面，且

所以點到面的距離即

（3）作交于點，

作交于點，連接

由平面平面，平面平面

平面平面，

所以平面，平面，

所以，又

平面，所以平面

又平面，所以

所以二面角平面角為

，又為等腰直角三角形

所以，所以

所以

又二面角平面角為

故

所以二面角平面角的正弦值為