Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2xsinθ﹣1，x∈[﹣ ， ]．
（1）當 時，求函數f（x）的最小值；
（2）若函數f（x）在x∈[﹣ ， ]上是單調增函數，且θ∈[0，2π]，求θ的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當θ= 時，f（x）=x2+x﹣1=（x+ ）2﹣ ，

由于x∈[﹣ ， ]，故當x=﹣ 時，f（x）有最小值﹣ ；

當x= 時，f（x）有最大值﹣ ．

（2）解：因為f（x）=x2+2xsinθ﹣1的對稱軸為x=﹣sinθ，

又欲使f（x）在區間[﹣ ， ]上是單調函數，

則﹣sinθ≤﹣ ，或﹣sinθ≥ ，即sinθ≥ 或sinθ≤﹣

因為θ∈[0，2π]，

故所求θ的范圍是[ ， ]∪[ ， ]．

【解析】（1）當θ= 時，f（x）=x2+x﹣1=（x+ ）2+ ，利用二次函數的性質求得f（x）的最大值和最小值．（2）利用f（x）=x2+2xsinθ﹣1的對稱軸為x=﹣sinθ，由題意可得﹣sinθ≤﹣ ，或﹣sinθ≥ ，求得sinθ的范圍，再結合θ的范圍，確定出θ的具體范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．