Question

【題目】已知橢圓W： ，過原點O作直線l1交橢圓W于A，B兩點，P為橢圓上異于A，B的動點，連接PA，PB，設直線PA，PB的斜率分別為k1 ， k2（k1 ， k2≠0），過O作直線PA，PB的平行線l2 ， l3 ， 分別交橢圓W于C，D和E，F．
（1）若A，B分別為橢圓W的左、右頂點，是否存在點P，使∠APB=90°？說明理由．
（2）求k1k2的值；
（3）求|CD|2+|EF|2的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：不存在點P，使∠APB=90°．

說明如下：設P（xP，yP）．

依題意，此時A（﹣2，0），B（2，0），

則 ， ．

若∠APB=90°，則需使 ，即 ．

又點P在橢圓W上，所以 ，

把 代入（1）式中解得，xP=±2，且yP=0．

顯然與P為橢圓上異于A，B的點矛盾，所以不存在；

（2）解：設P（xP，yP），A（xA，yA），依題意直線l1過原點，則B（﹣xA，﹣yA）．

由于P為橢圓上異于A，B的點，

則直線PA的斜率 ，直線PB的斜率 ．

即 ．

橢圓W的方程化為x2+4y2=4，由于點P和點A都為橢圓W上的點，

則 ，兩式相減得 ，

因為點P和點A不重合，所以 ，

即 ；

（3）解：

方法一：由于l2，l3分別平行于直線PA，PB，

則直線l2的斜率kCD=k1，直線l3的斜率kEF=k2．

設直線l2的方程為y=k1x，代入到橢圓方程中，

得 ，解得 ．

設C（xC，yC），由直線l2過原點，則D（﹣xC，﹣yC）．

則 = ．

由于yC=k1xC，所以|CD|2= ，即|CD|2= ．

直線l3的方程為y=k2x，代入到橢圓方程中，

得 ，解得 ．

同理可得 ．

則|CD|2+|EF|2= ．

由（Ⅱ）問 ，且k1≠0，則 ．

即|CD|2+|EF|2=16

化簡得|CD|2+|EF|2=16 ．

即|CD|2+|EF|2=20．

方法二：設C（xC，yC），E（xE，yE），

由直線l2，l3都過原點，則D（﹣xC，﹣yC），F（﹣xE，﹣yE）．

由于l2，l3分別平行于直線PA，PB，

則直線l2的斜率kCD=k1，直線l3的斜率kEF=k2，

由（2）得 ，可得 ．

由于kCD=k1≠0，則 ．

由于點C不可能在x軸上，即yC≠0，所以 ，

過原點的直線l3的方程為 x，代入橢圓W的方程中，

得 ，化簡得 ．

由于點C（xC，yC）在橢圓W上，所以 ，

所以 ，不妨設xE=2yC，代入到直線 中，

得 ．即 ，則 ．

|CD|2+|EF|2=

=

= ．

又 ，所以|CD|2+|EF|2=20．

【解析】（1）不存在點P，使∠APB=90°．理由如下：設P（xP ， yP），運用向量垂直的條件和數量積的坐標表示，結合橢圓方程，即可判斷；（2）設P（xP ， yP），A（xA ， yA），運用直線的斜率公式和點差法，化簡整理可得所求值；（3）方法一：由于l2 ， l3分別平行于直線PA，PB，求得直線方程，聯立橢圓方程，求得弦長，化簡整理，即可得到所求值；
方法二、設C（xC ， yC），E（xE ， yE），由直線l2 ， l3都過原點，則D（﹣xC ， ﹣yC），F（﹣xE ， ﹣yE）．由于l2 ， l3分別平行于直線PA，PB，由平行的條件，求得直線方程，代入橢圓方程，化簡整理，即可得到所求值．