Question

【題目】已知指數函數y=g（x）滿足：g（3）=8，定義域為R的函數f（x）= 是奇函數．
（1）確定y=g（x），y=f（x）的解析式；
（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零點，求a的取值范圍；
（3）若對任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設g（x）=ax（a＞0且a≠1），∵g（3）=8，∴a3=8，解得a=2．

∴g（x）=2x．

∴ ，

∵函數f（x）是定義域為R的奇函數，∴f（0）=0，∴ =0，∴n=1，

∴ 又f（﹣1）=f（1），∴ =，解得m=2

∴

（2）解：由（1）知 ，

易知f（x）在R上為減函數，

又h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零點，

從而h（﹣1）h（1）＜0，即 ，

∴（a+ ）（a﹣ ）＜0，

∴﹣ ＜a＜ ，

∴a的取值范圍為（﹣ ， ）

（3）解：由（1）知 ，

又f（x）是奇函數，∴f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0，

∴f（6t﹣3）＜﹣f（t2﹣k）=f（k﹣t2），

∵f（x）在R上為減函數，由上式得6t﹣3＞k﹣t2，

即對一切t∈（﹣4，4），有t2+6t﹣3＞k恒成立，

令m（t）=t2+6t﹣3，t∈（﹣4，4），易知m（t）＞﹣12，

∴k＜﹣12，即實數k的取值范圍是（﹣∞，﹣12）．

【解析】（1）設g（x）=ax（a＞0且a≠1），由g（3）=8可確定y=g（x）的解析式，故y= ，依題意，f（0）=0可求得n，從而可得y=f（x）的解析式；（2）若h（x）=f（x）+a在（﹣1，1）上有零點，利用零點存在定理，由h（﹣1）h（1）＜0，可求a的取值范圍；（3）由（2）知奇函數f（x）在R上為減函數，對任意的t∈（﹣4，4），不等式f（6t﹣3）+f（t2﹣k）＜0恒成立6t﹣3＞k﹣t2，分離參數k，利用二次函數的單調性可求實數k的取值范圍．
【考點精析】利用奇偶性與單調性的綜合對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性．