Question

【題目】（本題滿分13分）

某食品廠進行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本20元，并且每公斤蘑菇的加工費為元（為常數，且，設該食品廠每公斤蘑菇的出廠價為元（），根據市場調查，銷售量與成反比，當每公斤蘑菇的出廠價為30元時，日銷售量為100公斤.

（Ⅰ）求該工廠的每日利潤元與每公斤蘑菇的出廠價元的函數關系式；

（Ⅱ）若，當每公斤蘑菇的出廠價為多少元時，該工廠的利潤最大，并求最大值.

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設日銷量………………2分

日銷量

. ………………7分

（Ⅱ）當時，………………8分

………………10分

，

. ………………12分

當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的利潤最大，最大值為元. …………13分

【解析】

（1）由條件“日銷售量與（e為自然對數的底數）成反比例”可設日銷量為 ，根據日利潤每件的利潤×件數，建立函數關系式，注意實際問題自變量的范圍．
（2）先對函數進行求導，求出極值點，討論極值是否在范圍內，利用單調性求出函數的最值．

(1)設日銷量 (k≠0)，則＝100，

∴k＝100e30，

∴日銷量，

∴ (25≤x≤40)．

(2)當t＝5時，，.

由y′≥0得x≤26，由y′≤0，得x≥26，

∴y在區間[25,26]上單調遞增，在區間[26,40]上單調遞減，∴當x＝26時，ymax＝100e4，

即當每公斤蘑菇的出廠價為26元時，該工廠的每日利潤最大，最大值為100e4元．