Question

已知橢圓的中心為坐標原點O，橢圓短半軸長為1，動點M(2，t)(t>0)在直線x＝(a為長半軸，c為半焦距)上．
(1)求橢圓的標準方程；
(2)求以OM為直徑且被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2的圓的方程；
(3)設F是橢圓的右焦點，過點F作OM的垂線與以OM為直徑的圓交于點N，求證：線段ON的長為定值，并求出這個定值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）(x－1)²＋(y－2)²＝5（3）

(1)解：由點M在準線上，得＝2，故＝2，∴c＝1，從而a＝，所以橢圓方程為＋y²＝1.
(2)解：以OM為直徑的圓的方程為x(x－2)＋y(y－t)＝0，即(x－1)²＋＝＋1，其圓心為，半徑r＝，因為以OM為直徑的圓被直線3x－4y－5＝0截得的弦長為2，所以圓心到直線3x－4y－5＝0的距離d＝＝，所以＝，解得t＝4，所求圓的方程為(x－1)²＋(y－2)²＝5.
(3)證明：設N(x₀，y₀)，則＝(x₀－1，y₀)，＝(2，t)，＝(x₀－2，y₀－t)，＝(x₀，y₀)．∵⊥，∴2(x₀－1)＋ty₀＝0，∴2x₀＋ty₀＝2.
∵⊥，∴x₀(x₀－2)＋y₀(y₀－t)＝0，∴＋＝2x₀＋ty₀＝2，∴||＝＝為定值．