Question

設拋物線的焦點為，點，線段的中點在拋物線上. 設動直線與拋物線相切于點，且與拋物線的準線相交于點，以為直徑的圓記為圓．
（1）求的值；
（2）證明：圓與軸必有公共點；
（3）在坐標平面上是否存在定點，使得圓恒過點？若存在，求出的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）  （2）見解析  （3）存在

試題分析：
（1）判斷拋物線的焦點位置，得到焦點坐標，利用中點坐標公式得到FA的中點坐標帶入拋物線即可求的P的值.
（2）直線與拋物線相切，聯立直線與拋物線，判別式為0即可得到k,m之間的關系，可以用k來替代m，得到P點的坐標，拋物線準線與直線的方程可得到Q點的坐標，利用中點坐標公式可得到PQ中點坐標，計算中點到x軸距離與圓半徑(PQ為直徑)的大小比較即可判斷圓與x軸的位置關系(點線距離小于或者等于半徑，即相交或者相切).
（3）由(2)可以得到PQ的坐標(用k表示)，根據拋物線對稱性知點在軸上，設點坐標為，則M點需滿足，即向量內積為0，即可得到M點的坐標，M點的坐標如果為常數(不含k)，即存在這樣的定點，如若不然，則不存在.
試題解析：
（1）利用拋物線的定義得，故線段的中點的坐標為，代入方程得，解得。                  2分
（2）由（1）得拋物線的方程為，從而拋物線的準線方程為     3分
由得方程，
由直線與拋物線相切，得                4分
且，從而，即，                   5分
由，解得，                     6分
∴的中點的坐標為
圓心到軸距離，
 
∵ 
所圓與軸總有公共點.           8分
(或 由, ,以線段為直徑的方程為:

令得
,所圓與軸總有公共點）.           9分
（3）假設平面內存在定點滿足條件，由拋物線對稱性知點在軸上，
設點坐標為，             10分
由（2）知，
∴  。
由得，
所以，即或           13分
所以平面上存在定點，使得圓恒過點.            14分
證法二：由（2）知，，的中點的坐標為

所以圓的方程為           11分
整理得           12分
上式對任意均成立，
當且僅當，解得            13分
所以平面上存在定點，使得圓恒過點.            14分