Question

【題目】設a∈R，函數f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若a=3，求函數f（x）在區間[0，4]上的最大值；
（2）若存在a∈（2，4]，使得關于x的方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數解，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：當a=3，x∈[0，4]時，f（x）=x|x﹣3|+2x= ，

可知函數f（x）在區間[0， ]遞增，在（ ，3]上是減函數，在[3，4]遞增，

則f（ ）= ，f（4）=12，

所以f（x）在區間[0，4]上的最大值為f（4）=12

（2）解：f（x）= ，

①當x≥a時，因為a＞2，所以 ＜a．

所以f（x）在[a，+∞）上單調遞增．

②當x＜a時，因為a＞2，所以 ＜a．

所以f（x）在（﹣∞， ）上單調遞增，在[ ，a]上單調遞減．

當2＜a≤4時，知f（x）在（﹣∞， ]和[a，+∞）上分別是增函數，

在[ ，a]上是減函數，

當且僅當2a＜tf（a）＜ 時，

方程f（x）=tf（a）有三個不相等的實數解．

即1＜t＜ = （a+ +4）．

令g（a）=a+ ，g（a）在a∈（2，4]時是增函數，

故g（a）max=5．

∴實數t的取值范圍是（1， ）．

【解析】（1）求出f（x）的分段函數式，運用二次函數的性質，可得單調區間，求得最大值；（2）將x分區間進行討論，去絕對值寫出解析式，求出單調區間，將a分區間討論，求出單調區間解出即可．