Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0），短軸長2，兩焦點分別為F1 ， F2 ， 過F1的直線交橢圓C于M，N兩點，且△F2MN的周長為8．

（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相交于A，B點，點D為橢圓C上一點，四邊形AOBD為矩形，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由題意可得：2b=2，4a=8，解得b=1，a=2．

∴橢圓C的方程為 +y2=1

（2）

解：由題意可設直線l的方程為：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．

聯立 ，化為：（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4=0，△＞0．

∴x1x2= ，x1+x2= ．

∵OA⊥OB，∴ =x1x2+y1y2=0，即x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0，化為：k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0．

∴k2× +km× +m2=0．

化為：m2=4k2．

設線段AB的中點G（x0，y0），則x0= = ，y0= +m= ．

∴D ，代入橢圓方程可得： +4× =4，

化為：16k2m2+4m2=1+8k2+16k4，

把m2=4k2代入上述方程可得：3m4+2m2﹣1=0．

解得m= ，解得k= ．

∴直線l的方程為y= x

【解析】（1）由題意可得：2b=2，4a=8，解得b，a．可得橢圓C的方程．（2）由題意可設直線l的方程為：y=kx+m，A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．與橢圓方程聯立化為：（1+4k2）x2+8km+4m2﹣4=0，△＞0．由OA⊥OB，可得 =x1x2+y1y2=0，即k2x1x2+km（x1+x2）+m2=0．利用根與系數的關系化為：m2=4k2 ． 設線段AB的中點G（x0 ， y0），則x0= ，y0 ． 可得D坐標代入橢圓方程解出即可得出．