Question

【題目】設函數是定義在上的函數，并且滿足下面三個條件：（1）對正數，都有；（2）當時，；（3）；

（1）求和的值；

（2）如果不等式成立，求的取值范圍；

（3）如果存在正數，使不等式有解，求正數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（3）

【解析】

（1）對于任意的，，，令，，即可求得、的值；

（2），根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式，解不等式即可求得結果．

（3）把根據條件轉化為，根據函數的單調性把函數值不等式轉化為自變量不等式有解，分離參數轉化我求函數的最值問題．

（1）因為對于正數，都有，又，

所以令，有，則；再令，有；

（2）已知，，根據題干給出的條件有：，

而當，時，有

，

當，時，即，

于是等價于；

當時，，取，且，則

則令，代入等式得：，

所以函數單調遞減，

，

，解得：；

（3）同上理，不等式可化為且，

得，此不等式有解，等價于，

在的范圍內，易知，

故即為所求范圍．