Question

【題目】已知，，.

（1）若與垂直，求的值；

（2）求的最大值；

（3)若，求證：∥．

Answer 1

【答案】（1）tan（α+β）=2（2）（3）見解析

【解析】

（1）根據垂直關系，寫出坐標表示形式，化簡可得結果；（2）將表示成坐標的形式并進行化簡，利用三角函數的有界性求最大值；（3）對直接化簡，將其轉為向量平行的形式.

（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），與垂直，

∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，

即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），

∴sin（α+β）=2cos（α+β），

∴tan（α+β）=2．

（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），

∴=

，

∴當sin2β=﹣1時，取最大值，且最大值為．

（3）∵tanαtanβ=16，

∴

即sinαsinβ=16cosαcosβ，

∴（4cosα）（4cosβ）=sinαsinβ，

即與共線，

∴∥．