Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線與曲線交于兩點(diǎn)，求.

Answer 1

【答案】（1），；（2）

【解析】分析：解法一：（1）消去參數(shù)可得的普通方程為，則極坐標(biāo)方程為．極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程可得的直角坐標(biāo)方程為．

（2）設(shè)的極坐標(biāo)分別為，則，聯(lián)立極坐標(biāo)方程可得， 則，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)計算可得．

解法二： （1）同解法一

（2）曲線表示圓心為且半徑為1的圓．聯(lián)立直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式與圓的方程可得，結(jié)合參數(shù)的幾何意義知， 則

解法三： （1）同解法一

（2）曲線表示圓心為且半徑為1的圓． 的普通方程為， 由弦長公式可得，則是等邊三角形，， .

詳解：解法一：（1）由得的普通方程為，

又因為， 所以的極坐標(biāo)方程為．

由得，即，

所以的直角坐標(biāo)方程為．

（2）設(shè)的極坐標(biāo)分別為，則

由消去得，

化為，即，

因為，即，所以，或，

即或所以．

解法二： （1）同解法一

（2）曲線的方程可化為，表示圓心為且半徑為1的圓．

將的參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式(其中為參數(shù))，代入的直角坐標(biāo)方程為得，，

整理得，，解得或．

設(shè)對應(yīng)的參數(shù)分別為 ，則．所以，

又因為是圓上的點(diǎn)，所以

解法三： （1）同解法一

（2）曲線的方程可化為，表示圓心為且半徑為1的圓．

又由①得的普通方程為，

則點(diǎn)到直線的距離為，

所以，所以是等邊三角形，所以，

又因為是圓上的點(diǎn)，所以 .