Question

【題目】已知線段AB的端點B的坐標為（3,0），端點A在圓上運動；

（1）求線段AB中點M的軌跡方程；

（2）過點C（1,1）的直線m與M的軌跡交于G、H兩點，當△GOH（O為坐標原點）的面積最大時，求直線m的方程并求出△GOH面積的最大值.

（3）若點C（1,1），且P在M軌跡上運動，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）設出A，M坐標，利用M為線段AB中點，確定A，M坐標之間的關系，根據點A在圓上運動，可得線段AB中點M的軌跡方程；（2）令，則，即時面積最大為2，從而得到直線m的方程；（3）設點，則，令，由直線與圓的位置關系得到的取值范圍.

（1）解：設點

由中點坐標公式有

又點在圓上，將點坐標代入圓方程得：

點的軌跡方程為：

（2）令，則

當，即時面積最大為2

又直線過點，，∴到直線的距離為，當直線斜率不存在時，到的距離為1不滿足，令

故直線的方程為：

（3）設點，由于點

則，令

有，由于點在圓上運動，故滿足圓的方程.

當直線與圓相切時，取得最大或最小

故有

所以