Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在軸上的圓經過兩點和，直線的方程為.

（1）求圓的方程；

（2）當時，為直線上的定點，若圓上存在唯一一點滿足，求定點的坐標；

（3）設點A，B為圓上任意兩個不同的點，若以AB為直徑的圓與直線都沒有公共點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或 ；（3）.

【解析】

（1）根據題意，設圓的方程為，列方程解得即可；

（2）根據題意，利用得點的軌跡方程為，再利用兩圓相切解得即可.

（3）記以為直徑的圓為圓，設，得圓的半徑，利用，表示出動點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓的內部(含邊界)，再利用點C到直線l的距離，解得即可.

（1）設圓的方程為，將M，N坐標帶入，

得： ，解得，

所以圓的方程為.

（2）設，，由，即，

化簡得，

由題意，此圓與圓C相切，故，解得，

所以或

（3）記以AB為直徑的圓為圓M，設圓M上有一動點，

設，則圓M的半徑，于是

，其中為的夾角，.

因為，所以.

故點在以為圓心，為半徑的圓的內部(含邊界)，

所以點C到直線l的距離，即，解得.