【題目】已知函數
.
（Ⅰ）求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）求
的單調區間；
（Ⅲ）若對于任意
，都有
，求實數
的取值范圍.
【答案】(Ⅰ) 
；(Ⅱ)單調遞增區間是
； 
的單調遞減區間是
；(Ⅲ)答案見解析.
【解析】試題分析：（Ⅰ）由f（1）=0，f′（1）=1；從而寫出切線方程即可；
（Ⅱ）根據導數，求出導數等于0的根，分析導數函數值在根的左右的正負變化即可得出
的單調區間；
（Ⅲ）當
時，“
”等價于“
”.令
， 
，求導研究單調性求出
在區間
上的最大值為
，即可求出實數
的取值范圍.
試題解析：
（Ⅰ）因為函數
，
所以
,
.
又因為
，
所以曲線
在點
處的切線方程為
.
（Ⅱ）函數
定義域為
，
由（Ⅰ）可知， 
.
令
解得
.
與
在區間
上的情況如下：
x |
|
|
|
|
|
|
|
| ↘ | 極小值 | ↗ |
所以， 
的單調遞增區間是
；
的單調遞減區間是
.
（Ⅲ）當
時，“
”等價于“
”.
令
， 
，
， 
.
當
時， 
，所以
在區間
單調遞減.
當
時， 
，所以
在區間
單調遞增.
而
， 
所以
在區間
上的最大值為
.
所以當
時，對于任意
，都有
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】對函數f(x)＝xsinx，現有下列命題：①函數f(x)是偶函數；②函數f(x)的最小正周期是2π；③點(π，0)是函數f(x)的圖象的一個對稱中心；④函數f(x)在區間
上單調遞增，在區間
上單調遞減．其中是真命題的是________．(寫出所有真命題的序號)
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了迎接第二屆國際互聯網大會，組委會對報名參加服務的
名志愿者進行互聯網知識測試，從這
名志愿者中采用隨機抽樣的方法抽取
人，所得成績如下： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
.
（1）作出抽取的
人的測試成績的莖葉圖，以頻率為概率，估計這
志愿者中成績不低于
分的人數；
（2）從抽取的成績不低于
分的志愿者中，隨機選
名參加某項活動，求選取的
人恰有一人成績不低于
分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知線段AB的端點B的坐標為（3,0），端點A在圓
上運動；
（1）求線段AB中點M的軌跡方程；
（2）過點C（1,1）的直線m與M的軌跡交于G、H兩點，當△GOH（O為坐標原點）的面積最大時，求直線m的方程并求出△GOH面積的最大值.
（3）若點C（1,1），且P在M軌跡上運動，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了讓貧困地區的孩子們過一個溫暖的冬天，某校陽光志愿者社團組織“這個冬天不再冷”冬衣募捐活動，共有50名志愿者參與.志愿者的工作內容有兩項：①到各班做宣傳，倡議同學們積極捐獻冬衣；②整理、打包募捐上來的衣物.每位志愿者根據自身實際情況，只參與其中的某一項工作.相關統計數據如下表所示：
（1）如果用分層抽樣的方法從參與兩項工作的志愿者中抽取5人，再從這5人中選2人，那么“至少有1人是參與班級宣傳的志愿者”的概率是多少？
（2）若參與班級宣傳的志愿者中有12名男生，8名女生，從中選出2名志愿者，用
表示所選志愿者中的女生人數，寫出隨機變量的分布列及數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某圖書公司有一款圖書的歷史收益率（收益率=利潤÷每本收入）的頻率分布直方圖如圖所示：
（1）試估計平均收益率；（用區間中點值代替每一組的數值）
（2）根據經驗，若每本圖書的收入在20元的基礎上每增加
元，對應的銷量
（萬份）與
（元）有較強線性相關關系，從歷史銷售記錄中抽樣得到如下5組
與
的對應數據：
據此計算出的回歸方程為
①求參數
的估計值；
②若把回歸方程
當作
與
的線性關系， 
取何值時，此產品獲得最大收益，并求出該最大收益.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐A-BCD中，AB=a，AC=AD=b，BC=CD=DB=c（a＞0，b＞0，c＞0）該三棱錐的截面EFGH平行于AB、CD，分別交AD、AC、BC、BD于E、F、G、H．
（1）證明：AB⊥CD；
（2）求截面四邊形EFGH面積的最大值，并說明面積取最大值時截面的位置．
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