Question

【題目】設正項數列的前項和為，且滿足：，，．

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）若正項等比數列滿足，，且，數列的前項和為，若對任意，均有恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）an＝2n；（Ⅱ）[，+∞）．

【解析】

（Ⅰ）對遞推關系再遞推一步，兩式相減，最后結合等差數列的定義進行求解即可；

（Ⅱ）根據等差數列的通項公式結合已知求出等比數列的通項公式，最后利用錯位相減法、判斷數列的單調性進行求解即可.

（Ⅰ）因為，所以（n≥2），

兩式相減得：an+12﹣an2＝4an+4，即an+12＝（an+2）2（n≥2），

又因為數列{an}的各項均為正數，所以an+1＝an+2（n≥2），

又因為a2＝4，16＝a12+4+4，可得a1＝2，

所以當n＝1時上式成立，即數列{an}是首項為2、公差為2的等差數列，

所以；

（Ⅱ）由（1）可知b1＝a1＝2，b3＝a4＝8，所以正項等比數列的公比為：，

因此bn＝；cn＝．

①

②

① —②得：

恒成立，等價于恒成立，

所以恒成立，

設kn＝，則kn+1﹣kn＝﹣＝，

所以當n≤4時kn+1＞kn，當n＞4時kn+1＜kn，

所以

所以當kn的最大值為k5＝，故m≥，

即實數m的取值范圍是：[，+∞）．