Question

【題目】對于函數與常數,若恒成立,則稱為函數的一個“數對”;設函數的定義域為,且.

（Ⅰ）若是的一個“數對”,且,求常數的值;

（Ⅱ）若是的一個“數對”,求;

（Ⅲ）若是的一個“數對”,且當, ,求的值及在區間上的最大值與最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意知，代入解方程組即可；

（Ⅱ）由題意知恒成立,令可得,所以是公差為的等差數列,由等差數列求通項即可得解；

（Ⅲ）代入，可得，進而可得在上的值域，由當時, , ,討論奇偶即可得最值.

試題解析：

（Ⅰ）由題意知

即

解得

（Ⅱ）由題意知恒成立,

令可得,

所以是公差為的等差數列,

故,

又,

故.

（Ⅲ）當時, ,

令可得,

解得,

所以時, ,

故在上的值域是.

又是的一個“數對”,

故恒成立,

當時, ,

,

故當為奇數時, 在上的取值范圍是,

當為偶數時, 在上的取值范圍是,

所以當時, 在上的最大值為,最小值為,

當且為奇數時, 在上的最大值為,最小值為,

當為偶數時, 在上的最大值為,最小值為.