Question

【題目】請(qǐng)用空間向量求解已知正四棱柱中，，， 分別是棱，上的點(diǎn)，且滿足，．

求異面直線，所成角的余弦值；

求面與面所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

推導(dǎo)出AD，DC，兩兩垂直，以A為原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線，所成角的余弦值;求出平面的一個(gè)法向量和平面FAD的一個(gè)法向量，利用向量法能求出面與面FAD所成的銳二面角的余弦值．

在正四棱柱中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，

所以AD，DC，兩兩垂直，

以A為原點(diǎn)，DA，DC，所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

又因，，E，F分別是棱，上的點(diǎn)，

且滿足，，，

所以0，，0，，1，，1，，0，，1，，1，，

所以，

設(shè)異面直線，所成角為

所以，

所以異面直線，所成角的余弦值為

，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則，所以，令，

所以，

平面FAD的一個(gè)法向量為，

則，所以，令，所以，

所以，

所以面與面FAD所成的銳二面角的余弦值為