Question

【題目】△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知2a= csinA﹣acosC．
（1）求C；
（2）若c= ，求△ABC的面積S的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）∵2a= csinA﹣acosC，

∴由正弦定理可得：2sinA= sinCsinA﹣sinAcosC，

∵sinA≠0，

∴可得：2= sinC﹣cosC，解得：sin（C﹣ ）=1，

∵C∈（0，π），可得：C﹣ ∈（﹣ ， ），

∴C﹣ = ，可得：C=

（2）∵由（1）可得：cosC=﹣ ，

∴由余弦定理，基本不等式可得：3=b2+a2+ab≥3ab，即：ab≤1，（當且僅當b=a時取等號）

∴S△ABC= absinC= ab≤ ，可得△ABC面積的最大值為

【解析】（1）由正弦定理，三角函數恒等變換的應用化簡已知等式可得sin（C﹣ ）=1，結合C的范圍，可得C的值．（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，進而利用三角形面積公式可求△ABC面積的最大值．
【考點精析】通過靈活運用正弦定理的定義和余弦定理的定義，掌握正弦定理:；余弦定理:;;即可以解答此題．